Topologie – Management 4.0

Zuerst einige Anmerkungen zur Verwendung der KI-Systeme:
Ich verwende wieder ChatGPT, um mit diesem KI-System das Quantum Spiral Dynamics Modell zu entwickeln und in Python-Programme umzusetzen. Das Quantum Spiral Dynamics Modell verwendet Ideen aus der  Quantenchromodynamik und der Theorie topologischer Isolatoren. Damit ist das Modell konzeptionell und mathematisch sehr anspruchsvoll. ChatGPT zeigt in unserer Zusammenarbeit unglaublich viel ‚Kompetenz’ was die Quantenmechanik und deren Transfer in die soziale Welt anbetrifft. Die Erzeugung von Latex Code hat sich deutlich verbessert, wenngleich der Übergang zur WordPress Version noch recht viele Unzulänglichkeiten hat. Die unmittelbare Erzeugung von Illustrationen für die verwendeten Konzepte ist leider noch völlig unzureichend. Die Python Programme sind nicht sehr groß, so dass in diesem Fall ChatGPT den Code, anders als bei der Bearbeitung des letzten Blog-Beitrages, anfangs ohne Probleme ausgibt. Insbesondere an Nachmittagen häuften sich jedoch die Fehler: Bisherige Ergebnisse wurden vergessen, der Code wurde öfter umgeschrieben ohne Notwendigkeit und Ergebnisse wurden nicht mitgeteilt. – Dadurch dass ChatGPT den Code jetzt auch selbst ausführt, war er oft nicht mehr in der Colab-Umgebung lauffähig; es fehlten öfters Module und Sub-Module. – Die Zeit bis zur Beantwortung von Prompts lag des Öfteren im Minuten Bereich statt im Sekunden Bereich wie in der Vergangenheit. Ich habe DeepSeek,  Mistral und Claude für die Qualitätssicherung verwendet. DeepSeek hat Unsauberkeiten im ChatGPT Programm gefunden, jedoch schießt DeepSeek des Öfteren über das Ziel hinaus: Es neigt dazu, völlig andere Algorithmen zu verwenden. Mistral zeigt dieses Mal Analysequalitäten, die an diejenige von ChatGPT und DeepSeek heranreichen, also endlich ein europäisches System, das im internationalen Vergleich in etwa mithalten kann. Claude hat einen deutlichen Sprung nach vorne gemacht: Es sticht mit einer guten Fehleranalyse, vorgeschlagenen Erweiterungen und einer prägnanten fachlichen Analyse hervor. – Der letztendlich im Blog-Beitrag verwendete Code stammt deshalb von Claude.

Nun zum eigentlichen Blog-Beitrag:

Ziel des Beitrages ist es, eine Quantum Version des Modells Spiral Dynamics zu erstellen, um mit diesem System soziale Transformationen zu untersuchen.

Das Kultur- und Bewusstseinsentwicklungs-Modell Spiral Dynamics (SD) ist meines Erachtens das umfassendste Modell für die Modellierung der Entwicklung von Kulturen und Individuen [1, 2]. Es ist wesentlicher Bestandteil des Management 4.0 Frameworks [3]. – Ich verweise auch ergänzend auf die verschiedenen vergangenen Blog-Beiträgen mit unterschiedlichen SD-Anwendungsfällen.

Da die SD-Entwicklungsebenen im Folgende eine große Rolle spielen, zitiere ich hier aus der englischen Version von ‚Projektmanagement am Rande des Chaos‘ [3] und liste die SD-Entwicklungsebenen:

Level 1 beige: The survival-oriented stage of existence: archaic-instinctive.

V-meme: The world is a hostile environment that dictates physical demands, drives and instinct. Behavior is based on basic needs and self-expression, the instinct to survive.

This v-meme occurs in our society only in extreme situations (war, disasters).

Level 2 purple: The animistic or clan-related level of existence: clan, security-oriented, self-sacrificing.

V-meme: The world is menacing and full of mysterious powers and spirits, which must be appeased.

Life is characterized by self-devotion for the clan and its rules, the elders and the ancestors. Individuals belong to a community, and pass on the rituals of the clan, revere the spirits of the clan and find their places in the community. Clan-like cultures define ritual transitions that young people and adults have to pass through to reach the next stage within the community. In modern industrial society, there is often a dislike for the concepts and rituals that originate from this v-meme. – Since they are viewed as unfashionable for modern management and society. A complete loss of symbols and actions from the purple level, however, leads to what is frequently lamented as „coldness“ in large company structures. Thus, the backlash grows, i.e. the search for rituals, community and belonging. Outdoor training is a modern expression of this.

Level 3 red: The self-determined, “heroic-life-without-consideration-of-others” level of existence: egocentric, hedonistic.

V-meme: The world is like a jungle, where the strong and the tough rule and the weak serve. Nature is regarded as an enemy that has to be defeated.

What counts is who wins the fight, no matter at what cost: Others have no importance; the only important thing is self-survival in the story of mankind forever.

At this stage, we experience self-expression in its pure energetic form without any rules or remorse. It is about the individual who stands out from the crowd. Be it Robin Hood or Attila the Hun, there are both villains and heroes at this level. However, it is the individual deeds of particular individuals that continue in the narratives. And empires generally crumble along with their heroes.

In modern industrialized companies, we find embodiments of the red level hero characterized as „strong“ business leaders, in whose companies, after their departure, missing structures and risks are revealed. …

Level 4 blue: The level of existence, which is subordinate to absolute truth and where lasting peace is sought: absolutist, conformist, religious.

V-meme: Through a higher power, the world is given a structure and order that punishes „evil“ and in the end rewards „good“ deeds and proper moral conduct.

This level is characterized by self-devotion to a truth or a system, in order to receive rewards later. Those who belong to this system are committed to the bigger picture and willing to sacrifice themselves. Such individuals do not expect rapid fame, but expect to perish for a cause, either collectively or individually. Blue level individuals exist either as human manifestations or as perverted ideological content. Organizations with an active blue v-mem emphasize clear rules and reward belongingness and stability.

Level 5 orange: The modern, self-referring, “development-at-any-cost” level of existence: success-oriented, materialistic, objectivistic.

V-meme: The world is full of opportunities that can be used and develop to improve products and society to increase prosperity.

Those who win the game of the market are smart. This self-expression manifests without shame and without guilt when others are harmed.

This level, together with the blue level, dominates the modern industrial age. Since the Age of Enlightenment, the individual, rationality and development of progress and technology, along with all empirical sciences, have shaped social processes. Companies are predominantly competing according to „orange level“ rules of the market economy, to be first, for the best stock exchange price, and for the highest profit. Many „business heroes“ try to be winners in the field of big business. A loss of top position is equivalent to a loss of their entire existence. At the same time, this orientation has its dark side: Burnout on a personal level and economic crises on the collective level, are examples of limits of a purely rational, egocentric worldview.

Level 6 green: The pacifist, egalitarian “oriented–to-self-realization-of-the-whole-community” level of existence: personalist, group-oriented, humanist.

V-meme: The world is our home, which grows and thrives through mutual love, appreciation and participation.

Only fully-fledged members of the world, who are sensitive to themselves and to others, and who are part of the community. Self-devotion is human-oriented and rewards are attained by social recognition. The green level is based on several elements of the purple level. Last but not least, the concept of the modern heroic journey of Josef Campbell…comes from anthropology and research on the historical initiation rituals of clans.

In modern business culture, the sensitive hero only finds their place by resistance. Feminine leadership qualities, which are typical for the green meme, are required in our society, but due to the incorporation of other v-memes, at the same time they are destroyed.

Level 7 yellow: The existential, integrating level of existence.

V-meme: The world is a complex system in which change is constantly taking place and complexity is perceived as a gift: systemic, networked, integrating.

The „yellow“ level individual has the meta-competency to be able to integrate into themselves seemingly opposing poles and levels and can transfer this to the outer world by adding value. Their self-expression is such, that attention is paid to all others in the system.

For individuals at this level of consciousness, Graves observed a sudden increase in problem solving competence, the integration of opposites and a high degree of autonomy, while at the same time respecting the limits of others. Graves therefore introduced a partition between the first six levels and the seventh level of his model. He named the first six levels, the „first tier“ (the first section, the first order), and the seventh level and higher as the „second tier“ (second order). Up until now, we have only had a rough understanding of how the yellow level is expressed in individuals and organizations. Opportunities for technical networking will create synergies and catalyze this v-meme.

We believe that the content of this book will help make the „yellow“ level of existence more comprehensible and at home in project management.

Level 7 turquoise: The existential, integrating level of existence: experience-oriented, holistic thinking, synergistic.

V-meme: The world is an organism, which we have received as a gift and which transcends us. We bear responsibility, not only for humankind, but for the sustainable future of the entire universe. The self is ready to sacrifice itself, so that life can continue.

The yellow, and in particular, the turquoise „levels of existence“ are at present, only slightly visible in parts. It is estimated that only around 0.1% of the world’s population have this v-meme.

Individuals, groups, organizations, and societies, rather than possessing only one of the v-memes listed above, in most cases, contain a mixture of these v-memes. The degree of maturity, often referred to the „level of consciousness“ of a person, group, organization or society, is measured by the balance of this v-meme mixture, as well as by the degree of penetration into all areas of life (contexts).

The 3 (red) to 6 (green) „levels of existence“, correspond, in our opinion, directly to people’s four basic needs as described in … „Fundamentals Consistency Theory“ and „Fundamentals Reiss Motive Profile“.

Für die Konsistenztheorie der menschlichen Grundbedürfnisse des Neuropsychotherapeuten Klaus Grawe und für das Reiss Motive Profile verweise ich auf [3].

In diesem Blog-Beitrag gehe ich deutlich über den klassischen Rahmen von Spiral Dynamics hinaus: Ich stelle eine Quantum SD Version vor. Dieser Blog-Beitrag ist damit sehr spekulativ und kann sich (in späteren Jahren) als ‚mentales Irrlicht‘ herausstellen 😉.

Ich hole etwas aus und beginne den Blog-Beitrag mit einem kleinen ‚philosophischen‘ Ausflug und skizziere danach einige Grundlagen der modernen Quantenphysik, an die die Quantum SD sich anlehnt.

‚Es gibt nur eine Welt!‘ – Das ist einer meiner Glaubenssätze, wahrscheinlich der bei weitem wichtigste. Was meine ich damit? Ich meine damit nicht, dass es nur ein Universum gibt, wenngleich ich (derzeit) nicht glaube, dass es mehrere bzw. unendliche viele Universen gibt. Das eine Universum und ggf. die unendlich vielen Universen gehören zu einer Welt: Damit bringe ich in erster Linie zum Ausdruck, dass die an den wissenschaftlichen Disziplinen orientierte Erkenntnisgewinnung nicht dazu führt, dass es eine psychologische, soziale, technische, chemische oder physikalische oder … Welt gibt. Dies sind lediglich Perspektiven auf die eine Welt. Damit verbunden ist auch die Aussage, dass alle Objekten, auf die diese Perspektiven schauen, das gleiche Potential enthalten. Auch diese Aussage ist nur ein abgeleiteter Glaubenssatz. Ein Glaubenssatz allerdings, der sich mit jedem Tag Welt-Erkenntnisgewinn, immer mehr einer falsifizierbaren Aussage nähert: Das Beispiel, das aktuell die Aussage am besten belegt, ist das der Künstlichen Intelligenz. Falls wir die Intelligenz von KI-Systemen mittels eines Intelligenztests für Menschen vermessen, so haben Systeme wie ChatGPT längst die Hochintelligenz erreicht. Das heißt nicht, dass die Intelligenz der Maschinen und unsere Intelligenz das Gleiche ist. Unsere Intelligenz wird ganz wesentlich durch ‚Verstehen‘ geprägt. ‚Verstehen‘ ist meines Erachtens unmittelbar an Intelligenz und! Bewusstsein geknüpft. Hoch- oder Superintelligenz zeigen sich in den AI-Systemen auch ohne Verstehen. Die AI-Systeme haben (noch) kein Bewusstsein. – Ich gehe jedoch davon aus, dass es irgendwann künstliche Systeme geben wird, die Bewusstsein und Gefühle haben werden, da diese Eigenschaften – nach meinem Verständnis von der einen Welt – in diesen ‚potentiell‘ auftauchen können. Auch gehe ich davon aus, dass solche Systeme kollektive ‚soziale‘ Systeme ausbilden werden.- Einfach, weil es nur eine Welt gibt!

Ich bin mehr denn je davon überzeugt, dass die Mathematik, in Verbindung mit den anderen wissenschaftlichen Disziplinen, der Schlüssel ist, mit dem wir dieses Potential aufschließen werden: Das heißt nicht, dass Mathematik vollständiger ist, als eine andere Sprache, denn spätestens seit Gödel wissen wir, dass dies nicht der Fall ist. Jedoch entsteht durch die Mathematik eine Klarheit, die man mit einer anderen Sprache nicht erreicht und es scheint so zu sein, dass die eine Welt eine Struktur hat, die derjenigen der Mathematik ähnlich ist.

In meinen Blog-Beiträgen nehme ich die verfügbaren mathematischen Konzept wie Steine und werfe sie ins Wasser, sprich in die eine Welt, und schau was passiert. Manchmal entstehen kaum merkliche Wellen, manchmal recht beachtliche. Meine Blog-Beiträge zum Übergang Demokratie-Autokratie haben in diesem Sinne recht große Wellen erzeugt. Auch die Ausführung zum Collective Mind einer Diskussionsrunde in der TV Sendung Markus Lanz gehören zu diesen ‚wellenschlagenden‘ Konzepten. Die Blog-Beiträge zum Quantum Collective Mind waren schon deutlich spekulativer, jedoch zeigten auch diese, dass solche Beiträge keinesfalls unsinnig sind, also zumindestens kleine Wellen erzeugen.

Auch dieser Blog-Beitrag gehört in den spekulativen Bereich der vergangenen Quantum Blog-Beiträge. – Er geht sogar noch darüber hinaus…

Für die Quantum SD mache ich bei zwei physikalischen Theorien verschiedene konzeptionelle Anlehnungen: Der Quantenchromodynamik und den topologischen Isolatoren. Aus diesem Grund skizziere ich beide Theorien ein wenig:

Quantenchromodynamik – Die Farbdynamik der Welt [4]

Die kleinsten Bausteine unserer Welt sind die Quarks. Die Protonen und Neutronen bestehen aus ihnen. Sie tragen eine Eigenschaft namens Farbe – nicht im optischen Sinne, sondern als mathematische Markierung. Diese drei Farben – rot, grün, blau – bestimmen, wie Quarks miteinander wechselwirken – und das tun sie über den Austausch von Gluonen, den Trägern der sogenannten starken Kraft. Diese Kraft hält die Quarks zusammen und sorgt dafür, dass unsere Welt nicht zerfällt. Die dazugehörige Theorie heißt Quantenchromodynamik (QCD) – die „Farbdynamik der Quanten“. Die QCD sagt, dass Quarks ihre Farbe tauschen können, indem sie Gluonen austauschen. Von außen Betracht kann man nicht erkennen, welches Quark welche Farbe trägt. Die Quarks agieren diesbezüglich wie cross-funktionale Teammitglieder: In der Physik spricht man von Symmetrie. Damit man diese Symmetrie in den mathematischen Gleichungen garantieren kann, muss man sogenannte Eichfelder einführen: Für die QCD ergibt sich ein Eichfeld der starken Wechselwirkung. Zum großen Erstaunen, sind diese Eichfelder keine mathematischen Geisterterme, sondern sie haben eine messbare Konsequenz. Heute weiß man, dass sich Symmetrien und damit verbundene Eichfelder wie ein roter Faden durch die Welt ziehen.

Die Elektrodynamik mit den Maxwell’schen Feldgleichungen ergibt sich zum Beispiel aus der Tatsache, dass man die Wellenfunktion des Elektrons mit einer e-Funktion mit imaginärem orts- und zeitabhängigen Argument multiplizieren kann ohne dass sich die messbare Wahrscheinlichkeit für den Aufenthaltsort des Elektrons verändert. Dieses orts- und zeitabhängige Argument nennt man Phase. Da die Schrödingergleichung invariant bleiben muss ergibt sich hieraus, dass ein Eichfeld existieren muss. Dieses Eichfeld garantiert, dass die Schrödingergleichung invariant unter sogenannten unitären Transformation bleibt. Das Eichfeld ist die Basis der elektromagnetischen Felder. Aus dem Eichfeld ergibt sich auch automatisch, dass es Feldquanten geben muss, die bekannten Photonen. Die inneren Freiheitsgrade des Systems Elektron erzeugen also messbare Konsequenzen.

Die inneren Freiheitsgrade der QCD, hier die Invarianz gegenüber Farbaustausch, einer Form von Symmetrie, erfordert ein Eichfeld, das die starke Kernkraft hervorruft: Die 3 abstrakten Farb-Parameter erzeugen einen sogenannten dreidimensionalen Vektor-Parameterraum, in dem Transformationen durch 3×3 Matrizen dargestellt werden. Da es sich um Transformationen im komplexen Zahlenraum handelt, lassen sich die Transformationen durch 18 Parameter darstellen. Wendet man zwei physikalische Nebenbedingungen für die Transformation an, erhält man die sogenannten speziellen unitären Transformationen im Vektor-Parameterraum (der Farben) mit 8 Matrix-Parametern. Man nennt diese Transformationen SU(3). Man kann jede der Transformationen mit 8 Matrix-Parametern in 8 Basis-Transformationen zerlegen, die man Generatoren nennt. Diese 8 Generatoren bilden eine mathematische Gruppe mit einer speziellen Algebra, der Lie-Algebra. Das überaus erstaunliche ist, dass die 8 Generatoren 8 Wechselwirkungsquanten entsprechen, die das Eichfeld der starken Wechselwirkung ausbilden. Die 8 Wechselwirkungsquanten werden Gluonen genannt.

Freiheitsgrade erfordern also Eichfelder damit die aus den Freiheitsgraden abgeleiteten Symmetrien erhalten bleiben. Eichfelder wiederum bilden beobachtbare Felder und Kräfte, die aus Quanten bestehen: Man vergegenwärtige sich diese unglaublichen Aussagen über unsere Welt!!

Topologische Isolatoren – Die Strukturdynamik der Welt [5]

Symmetrien, die ich soeben skizziert habe, und Topologie sind zwei fundamentale Eigenschaften unserer Welt. Topologische Isolatoren sind exotische Materialien, die innen isolierend, aber an ihren Rändern leitend sind – und das aus rein geometrischen (topologischen) Gründen: Die Elektronen im Inneren können nicht fließen, aber am Rand der Isolatoren entstehen spezielle Randzustände, die es erlauben, dass Elektronen fließen können und ein Strom messbar ist. Am Rand der topologischen Isolatoren, an deren Oberfläche also, bildet sich ein spezieller Vektor-Parameterraum aus. Dieser Vektor-Parameterraum hat eine spezielle ‚Geometrie‘, eine Topologie, die auch mit einem Eichfeld verbunden ist. Elektronen, die in diesem Eichfeld durch eine äußere Kraft (zum Beispiel durch ein magnetisches Feld) ganz langsam (adiabatisch) bewegt werden, verändern ihre Phase und die Veränderung dieser Phase kann man berechnen und sogar messen. Man kann zeigen, dass ein Elektron, das im Parameterraum wieder an seinen Ausgangspunkt zurückgeführt wird, eine Veränderung seiner Phase erfahren hat, die die Topologie des Eichfeldes, also seine Struktur, wiederspiegelt. Man nennt diese spezielle Änderung der Phase die Berry-Phase [6,7,8]. Es ist also möglich ein Eichfeld durch seine Topologie zu charakterisieren: Selbst wenn sich lokal im Feld etwas ändert aber die grundlegende Struktur sich nicht ändert, bleibt die Berry-Phase stabil. Führt man das Elektron über alle möglichen Wege durch das Eichfeld und summiert die Berry-Phasen auf, erhält man eine! Zahl, die die Topologie des Eichfeldes repräsentiert. Diese Zahl nennt man Chern-Zahl.

Zusammenfassend heißt dies, dass sich an der Oberfläche künstlich erzeugter Materialien spezielle Parameterraum-Strukturen ausbilden. Damit verbunden sind Eichfelder, die die Vermessung der Topologie des Parameterraumes erlauben. Die Topologie ist völlig unempfindlich gegenüber lokalen Materialänderungen: Man vergegenwärtige sich diese unglaublichen Aussagen über unsere Welt!!

Abbildung 1 verdeutlicht den Zusammenhang von Quantenchromodynamik, Eichtheorien und topologischen Isolatoren, erzeugt mit Hilfe von ChatGPT.

Abbildung 1: Zum Zusammenhang von Quantenchromodynamik, Eichtheorien und topologischen Isolatoren

Und nun zum Thema ‚Soziale Transformation‘. Ich mache folgende Analogien:

Ich betrachte ‚Kultur‘ als ein soziales Feld. Ich beschreibe das soziale Feld mittels SD, und betrachte die 8 derzeit bekannten SG-Ebenen als den Parameterraum, der die Werte-Wechselwirkung zwischen Menschen aufspannt. Da wir acht Ebenen haben, müssten wir in Analogie zur QCD eine SU(8) aufsetzen. Eine SU(8) hat 63 Generatoren. – Das würde meine Überlegungen extrem verkomplizieren. Ich bleibe bei der SU(3) mit drei Farben und 8 Generatoren. Ich wähle aus den SD-Ebenen die drei derzeit vorherrschenden Ebenen aus: blau, orange, grün. Die Tatsache, dass wir hier auch von Farben, wie bei den Gluonen sprechen, ist reiner Zufall.- Wir könnten die Farben auch Äpfel, Birnen und Bananen nennen.
Ich verwende weitere Formalismen der Quantenmechanik, um die Wechselwirkung der SD Farbebenen untereinander und mit den Menschen zu beschreiben. Das heißt nicht, dass ich die Menschen und deren Wechselwirkung als Quanten betrachte, sondern dies heißt nur, dass ich den mathematischen Formalismus der Quantenmechanik anwenden. Im Kontext der Quantum Cognition habe ich schon gezeigt, dass die auf dieser Annahme basierenden Erkenntnisse erstaunlich sinnvolle Ergebnisse liefern.

In der Sprache der Quantenmechanik spanne ich mit der SU(3) einen Vektor-Parameterraum mit 3 Farben auf und an jedem ‚Ort‘ in diesem Parameterraum kann ich den Vektor aus den 3 Farben mittels einer 3*3 Matrix transformieren. Statt der 3*3 Matrix kann ich die Transformation auch aus 8 Matrizen (8 Generatoren) und einer Parameterfunktion pro Generator zusammensetzen. Mit den Parameterfunktionen lassen sich die Wechselwirkungen zwischen den Farben ausgestalten: Die Generatoren bestimmen welche Ebenen miteinander wechselwirken und die Parameterfunktionen wie sie das tun.

Für die zugrundeliegende Mathematik verweise auf den Anhang ‚Quantum Spiral Dynamics: Formeln und Erläuterungen‘.

Die nachfolgende Tabelle zeigt die 8 Generatoren und die dazugehörigen Parameterfunktionen. Das gesamte Potential A (t) (t steht für die Zeit) ergibt sich aus der Summe aller Generatoren multipliziert mit den jeweiligen Parameterfunktionen (man siehe hierzu auch den Anhang). Das soziale Eichpotential A(t) beschreibt die verborgene Struktur von Einfluss, Synchronisation und Ausrichtung innerhalb einer sozialen Gruppe. Es wird als ‚Eichpotential‘ (Kulturpotential) bezeichnet, weil es – ähnlich wie in der Physik – nicht direkt beobachtbar ist, aber dafür sorgt, dass die Gruppe von außen nur als kohärentes Ganzes in ihren dominanten Wertefarben (Blau, Orange, Grün) wahrnehmbar ist.

a	Generator λₐ	Parameterfunktion zu Aᵃ(t)	Soziale Dynamik / Interpretation
1	λ₁	f₁(t) = 0.1·sin(0.4·t)	Diese Komponente steht für einen Diskurs-Impuls: Sie beschreibt zyklisch wiederkehrende Anstöße, bei denen strukturierte Argumente (Blau) die Leistungsorientierung (Orange) antreiben.
2	λ₂	f₂(t) = 0.1·cos(0.4·t)	Hier geht es um den Kommunikations-Rhythmus: Diese Welle beschreibt, wann und wie stark Kommunikation zwischen struktur- und leistungsorientierten Polen erfolgt – quasi der „Tonfall“ im Dialog zwischen Blau und Orange.
3	λ₃	f₃(t) = -0.2·tanh(0.2·(t – 6))	Diese Komponente steht für einen epochalen Policy-Shift: Sie modelliert einen weichen, einmaligen Übergang von einer leistungsorientierten (Orange) zu einer strukturorientierten (Blau) Haltung – etwa bei einem Strategiewechsel.
4	λ₄	f₄(t) = 0.2·exp(-(t – 4)² / 2)	Dies beschreibt einen Harmonie-Schub: Ein gezielter, kurzzeitiger grüner Impuls (Beziehungsorientierung), der zum Beispiel bei wichtigen Retrospektiven um t ≈ 4 einsetzt.
5	λ₅	f₅(t) = 0.1·sin(0.6·t)	Diese Funktion steht für eine Empathie-Feinjustierung: Sie modelliert schnelle, subtile Wechsel zwischen Regelorientierung (Blau) und Empathie (Grün), die etwa in Führungssituationen den Ton ausmachen.
6	λ₆	f₆(t) = 0.2·sin(0.3·t)	Hierbei handelt es sich um regelmäßige Erfolg–Empathie-Zyklen: Die Dynamik beschreibt, wie das Team zwischen Leistungsorientierung (Orange) und Gemeinschaft (Grün) hin- und herpendelt.
7	λ₇	f₇(t) = 0.1·cos(0.3·t)	Diese Komponente beschreibt Kreativitäts-Phasen: Sie koppelt kreative, leistungsgetriebene Impulse (Orange) mit beziehungsorientierten Aspekten (Grün) und sorgt so für soziale Innovationszyklen.
8	λ₈	f₈(t) = 0.05	Dies ist ein konstanter Meta-Bias: Eine dauerhafte Tendenz in der institutionellen Kultur, die das Gleichgewicht systematisch in Richtung Struktur (Blau) und Leistung (Orange) verschiebt.

Tabelle 1: Liste der 8 Generatoren und der 8 Parameterfunktionen der sozialen SU(3) für die 3 herausgegriffenen SD Ebenen blau, orange und grün. Die Parameterfunktionen wurden ‚willkürlich‘ von mir erstellt, sie könnten auch anders aussehen: Die Aussagen in der Spalte ‚Sozialdynamik/Interpretation‘ können als verbale Ausgangsbasis der einzelnen Komponenten des Potentials A(t) (Potentialkomponenten) angesehen werden, die ich dann durch die Generatoren und die Parameterfunktionen mathematisch modelliert habe.

Auf der Basis des Vektorpotentials A(t) habe ich eine Hamiltonfunktion und eine quantenmechanische Bewegungsgleichung für den quantenmechanische Dichteoperator als Mastergleichung definiert (man siehe hierzu den Anhang). Mit Hilfe dieser Mastergleichung untersuche ich die Bewegung von drei (quantenmechanischen) Agenten im sozialen Eichpotential (Kulturpotential). Ich tue dies, indem ich den drei Agenten in zwei Simulationen unterschiedliche Ziele vorgebe und schaue wie sich die Agenten im Kulturpotential bewegen. Ich gehe auch davon aus, dass sich die Agenten gegenseitige etwas stören. Im Anhang wird dieses ‚Stören‘ als ‚Dephasing‘ modelliert.

Die Ergebnisse der Simulation sind in Abbildung 2 und 3 zu sehen:

Simulation 1 mit Ziel 1

Abbildung 2: Ziel 1 Φ = (Blau + Orange + Grün) / √3 mit einer ausgewogenen Vorgabe, als Superposition aller Werte:

Der blaue Agent A hat am wenigsten Schwierigkeiten das Ziel zu erreichen: Das Kulturpotential begünstigt auf seinem Weg zum Ziel den blauen Agenten: Ordnung, Disziplin, institutionelle Stabilität werden bevorzugt.
Der orangene Agent B zeigt nach Anfangsschwierigkeiten eine mittlere Annäherung ans Ziel.
Der grüne Agent C bleibt ausgeschlossen, das Kulturpotential marginalisiert Gemeinschaftswerte.

Simulation 2 mit Ziel 2

Abbildung 3: Ziel 2 Φ = (Blau + i·Orange – Grün) / √3 mit polarisierender Vorgabe durch einen komplexen Anteil und einer anderen Ausrichtung für Grün:

Der grüne Agent C erreicht nahezu perfekte Überlappung – das Zielsystem ist spannungsreich, aber grünaffin.
Der orangene Agent B zeigt eine kleine Annäherung ans Ziel.
Der blaue Agent A bleibt isoliert – möglicherweise wegen unvereinbarer Ordnungsideale.

Aus diesen Diagrammen und den darin enthaltenen Bewegungen ergibt sich, dass das Kulturpotential bestimmt, welche Werte als „kulturelle Attraktoren“ auf welchen Agenten wirken.

Diese Aussage lässt sich noch weiter bekräftigen und detaillieren in dem ich aus der topologischen Analyse bekannte Werkzeuge verwende (siehe Anhang). Diese Werkzeuge [6, 7, 8] erhalten durch mich eine soziale ‚Interpretation‘ und erlauben damit eine differenzierte Einschätzung von Transformationen:

Kategorie	Bedeutung sozial	Niedriger Wert	Hoher Wert
Overlap mit Ziel	Kulturelle Passung	Exklusion, Spannung	Integration, Zielidentität
Berry-Phase	Geometrische ‚Weglänge‘ im Wertefeld	Statischer Wertepfad	Umweg, Lernprozess, Wandlungsfähigkeit
Pancharatnam-Phase	Identitätsdistanz Start ↔ Ziel	Geringe Neuorientierung	Reframing, Selbstwandlung
Raumwinkel (solid angle)	Topologischer Winkel im Kulturpotential	Kaum Perspektivwechsel	Umfassender Bewusstseinswandel

Tabelle 2: Topologische/geometrische quantenmechanische Werkzeuge als Analysewerkzeuge

Tabelle 3 fasst die Ergebnisse der zwei Simulationen mit den zwei unterschiedlichen quantenmechanischen Zielen zusammen:

Metrik	Agent A	Agent B	Agent C
Ziel 1: Φ = (Blau + Orange + Grün) / √3
Pancharatnam-Phase (Total)	0.00°	132.87°	-149.42°
Berry-Phase (offen)	-13.29°	-190.50°	-160.62°
Raumwinkel	-4745°	-7211°	8664°
Finaler Überlappung	74.65%	44.73%	1.07%

Ziel 2: Φ = (Blau + i·Orange – Grün) / √3
Pancharatnam-Phase	0.00°	-3.39°	-179.47°
Berry-Phase (offen)	-39.31°	-317.77°	187.50°
Raumwinkel	-7155°	-6638°	10149°
Finaler Überlappung	3.73%	3.97%	88.06%

Tabelle 3: Tabellarische Übersicht der topologischen/geometrischen Simulationsergebnisse

Abbildung 4: Diese Abbildung visualisiert Raumwinkel und Berry-Phase aus Tabelle 3.

Auf der Basis der Simulationsergebnisse habe ich zwei Narrative erstellt. Ich nenne sie Narrative, weil die Ausgangsbasis sehr spekulativ ist und die daraus abgeleiteten Interpretationen dies auch sind:

Narrative 1: Ziel 1 Φ = (Blau + Orange + Grün) / √3

Die soziale Transformation in Richtung Gleichwertigkeit aller drei Ebenen verläuft uneinheitlich:

Agent A (Blau) zeigt mit einer hohen finalen Überlappung (75 %) einen starken Konvergenzpfad – trotz eines ausgeprägten geometrischen Umwegs (Raumwinkel ≈ –4745°).

Agent B (Orange) hingegen scheint zwar einen transformativen Prozess zu durchlaufen (Berry-Phase ≈ –190°), verliert dabei jedoch die Orientierung, was sich in einer deutlich geringeren Zielüberlappung (44 %) äußert.

Agent C (Grün) bewegt sich am deutlichsten weg vom Ziel (Zielüberlappung nur 1 %), trotz einer positiven Raumwinkel-Phase von +8664° – ein Hinweis auf eine intensive, aber nicht zielgerichtete kulturelle Selbstbewegung, die im Kontext von Harmonieorientierung möglicherweise zu keiner klaren Stellungnahme gegenüber der Zielstruktur führt.

Narrative 2: Ziel 2 Φ = (Blau + i·Orange – Grün) / √3

Die kollektive Dynamik zeigt eine Polarisierung zwischen Agent C (Grün) und Agent A (Blau):

Während Agent C sich klar in Richtung des komplexen Zielzustands bewegt (Zielüberlappung 88 %, Berry-Phase ≈ +188°, Raumwinkel > 10.000°), durchläuft Agent A eine Vielzahl widersprüchlicher Zustandsänderungen (Raumwinkel –7155°), ohne sich dem Ziel anzunähern (Finale Überlappung: 3.7 %).

Dies deutet auf eine tiefsitzende resonanzlose Bewegung: Sie bleibt zwar aktiv, aber oszilliert in sich selbst, statt sich kohärent zu transformieren.

Agent B (Orange) pendelt zwischen beiden Polen – seine große Berry-Phase (–318°) spricht für eine ambivalente Integrationsbewegung, die sich nicht entscheiden kann, ob sie Teil der neuen Ordnung oder Stabilisator der alten sein will.

Zusammenfassend: Was lerne ich daraus?!

Die Modellierung eines Kulturpotentials mittels eines SU(3) Eichpotentials auf der Basis der drei SD Ebenen blau, orange und grün ist möglich und erzeugt eine reichhaltig Kultur-Topologie.

Die Bewegung von drei Agenten mit den dominanten Werte-Ebenen blau, orange und grün lässt sich mit Hilfe topologischer Metriken gut analysieren.

Die Ergebnisse sind nicht ohne ‚Sinn‘: ich gehe noch nicht so weit zu sagen, dass sie Realität abbilden.

Leider fehlt hierzu eine entsprechende Datenanalyse der Realität. Es gibt leider keine wissenschaftliche Literatur, die eine quantentopologische Kulturanalyse mit TDA (Topologischer Daten Analyse [9]) vornimmt.

Aber vielleicht ergibt sich ein Ansatz in meinen weiteren Betrachtungen…

[1] Beck D E und Cowan C C (2005) Spiral Dynamics: Mastering Values, Leadership and Change, Wiley-Blackwell

[2] Wikipedia (2025) Spiral Dynamics, https://de.wikipedia.org/wiki/Spiral_Dynamics

[3] Oswald A et al. (2017) Project Management at the Edge of Chaos, Springer

[4] Wikipedia (2025a) Quantenchromodynamik, https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchromodynamik

[5] Wikipedia (2025b) Topologische Isolatoren, https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Isolator

[6] Wikipedia(2025c) Berry-Phase, https://de.wikipedia.org/wiki/Berry-Phase

[7] Wikipedia (2025d) Geometric Phase, https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_phase

[8] Wikipedia (2025e) Holonomie, https://de.wikipedia.org/wiki/Holonomie

[9] Wikipedia (2025 f) Topologischer Datenanalyse (Topological data analysis), https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_data_analysis

Anhang

Quantum Spiral Dynamics: Formeln und Erläuterungen

1. Gell-Mann-Generatoren
Die Matrizen λᵃ bilden die Basis der Lie-Algebra SU(3), also alle möglichen infinitesimalen „Werte-Rotationen“ im 3-dimensionalen Werteraum. Jede λᵃ ist hermitesch (selbstadjungiert), sodass sie reale ein- und ausschwingende Moden erzeugt, und tracen-frei, damit die Gesamtspur Null bleibt und konsistent zur SU(3)-Bedingung. λ¹ und λ² koppeln die ersten beiden Komponenten (Blau und Orange) in realer und imaginärer Phase. λ³ repräsentiert den Unterschied zwischen diesen beiden Achsen (Blau minus Orange). Analog koppeln λ⁴ und λ⁵ Blau und Grün, während λ⁶ und λ⁷ die Wechselwirkung zwischen Orange und Grün beschreiben. λ⁸ ist der dritte diagonale Generator, der als Meta-Achse Blau+Orange gegenüber Grün wirkt. Zusammen erlauben die acht Generatoren jede beliebige Rotation im Wertesystem, was das soziale Kulturpotential sehr flexibel macht.

$\lambda^{1} =\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad\lambda^{2} =\begin{pmatrix}0 & -i & 0\\i & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad\lambda^{3} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix},$

$\lambda^{4} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad\lambda^{5} =\begin{pmatrix}0 & 0 & -i\\0 & 0 & 0\\i & 0 & 0\end{pmatrix},\quad\lambda^{6} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix},$

$\lambda^{7} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & -i\\0 & i & 0\end{pmatrix},\quad\lambda^{8} =\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{pmatrix}.$

Spurfreiheitsbedingung:

$\text{tr}[\lambda_a] = 0, \quad a = 1, 2, \ldots, 8$

Orthogonalitätsbedingung:

$\text{tr}[\lambda_a^\dagger \lambda_b] = 2\delta_{ab}$

Vollständigkeitsrelation:

$\sum_{a=1}^{8} \lambda_a^{ij} \lambda_a^{kl} = 2\left(\delta_{il}\delta_{jk} - \frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl}\right)$

Kommutator der Lie-Algebra:

$[\lambda_a, \lambda_b] = \lambda_a \lambda_b - \lambda_b \lambda_a = 2i\sum_{c=1}^{8} f_{abc}\lambda_c$

Strukturkonstante $f_{abc}$ , die ungleich 0 sind:

$f_{123} &= 1$

$f_{147} &= f_{165} = f_{246} = f_{257} = \frac{1}{2}$

$f_{345} &= f_{367} = \frac{1}{2}$

$f_{458} &= f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Soziales Eichpotenzial $A(t)$
Das soziale Eichpotenzial $A(t)$ ist eine lineare Kombination aller acht Generatoren λᵃ, gewichtet durch Funktionen $f_a(t)$ . Diese Funktionen modellieren zeitabhängige Ereignisse oder Impulse, z. B. Führungswechsel, Krisen oder Höhepunkte von Team-Workshops. Jeder Term $f_a(t)\,\lambda^a$ kann als soziale „Kraft“ gelesen werden, die die Wertevektoren der Teammitglieder in Richtung des jeweiligen Meme-Übergangs zieht. Die Variable $t$ steht dabei für eine ablaufende Team-Zeit, z. B. in Tagen oder Iterationen. Indem wir alle acht Funktionen nutzen, erlauben wir dem Modell, komplexe Überlagerungen von Impulsen gleichzeitig abzubilden. Die explizit angegebenen $f_a(t)$ sind nur Beispiele; sie können leicht an neue Erkenntnisse anpasst werden. Die Funktion $f_3(t)$ etwa erzeugt einen weichen, epochalen Werte-Shift um $t=6$ . $f_4(t)$ , ist also ein kurzer, starker Impuls um $t=4$ , der eine Retrospektive oder besondere Intervention symbolisieren könnte. Gemeinsam definieren diese acht Moden den vollständigen nicht-abelschen Wertzirkulationszyklus.

$A(t)=\sum_{a=1}^{8}f_{a}(t)\,\lambda^{a},$

$f_1(t) = 0.1 \sin(0.4t)$

$f_2(t) = 0.1 \cos(0.4t)$

$f_3(t) = -0.2 \tanh(0.2(t - 6))$

$f_4(t) = 0.2 \exp\left(-\frac{(t-4)^2}{2}\right)$

$f_5(t) = 0.1 \sin(0.6t)$

$f_6(t) = 0.2 \sin(0.3t)$

$f_7(t) = 0.1 \cos(0.3t)$

$f_8(t) = 0.05$

3. Kollektiver Hamiltonian
Der kollektive Hamiltonian $H_{\mathrm{coll}}(t)$ steuert die unitäre Entwicklung der Team-Wellenfunktionen. Er wird direkt proportional zum Feld $A(t)$ gesetzt, skaliert durch die Kopplungskonstante $g$ . Im physikalischen Analogon ist $H$ der Energieoperator; hier ist es ein dimensionsloser sozialer Potential-Operator. Eine Hamilton-Dynamik ohne Dissipation ist vollständig reversibel. Durch $H_{\mathrm{coll}}$ bilden sich werteorientierte Team-Zustände entlang eines Werte-Pfads.

$H_{\mathrm{coll}}(t)=g\,A(t).$

4. Mastergleichung
Die Mastergleichung beschreibt die offene Dynamik der Dichtematrix $\rho(t)$ . Der Term $-\tfrac{i}{\hbar}[H,\rho]$ ist die reversible, unitäre Advektion im Wertefeld (Advektion: ‚Transport‘ der Agenten duch das soziale Feld). Die Summe über die Lindblad-Operatoren $L_\ell$ modelliert dissipative Prozesse durch den Ziel-Attraktor und den Dephasing-Operator. Jeder $L_\ell\rho L_\ell^\dagger$ -Term überträgt Population in bestimmte Zielzustände. Die Anticommutator-Anteile $\{L_\ell^\dagger L_\ell,\rho\}$ stellen den Populationsverlust korrekt sicher. Die Ableitung nach $t$ zeigt, wie sich das Team auf gemeinsame Ziele ausrichtet. Die Lindblad-Mastergleichung ist pro Agent eine 3*3 Matrix Gleichung, da alle Operatoren 3*3 Matrizen sind. Für die numerische Berechnung wird jede Matrix mit 9 komplexen Parametern in einen Vektor mit 9 Elementen überführt. Damit entstehen 9 Differentialgleichungen (ODE’s), die numersich berechnet werden. Gestartet wird die Berechnung mit den weiter unten gelisteten Startwerten für t = 0.

$\frac{d\rho}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[H_{\mathrm{coll}},\rho]+\sum_{\ell}\Bigl(L_{\ell}\,\rho\,L_{\ell}^{\dagger}-\tfrac12\{L_{\ell}^{\dagger}L_{\ell},\rho\}\Bigr).$

$[H, \rho] = H\rho - \rho H$

$\{A, B\} = A B + B A$

Startwerte zum Zeitpunkt t= 0 für die Integration der Differentialgleichungen: Zustände und Dichteoperatoren für drei Agenten

$|\psi_1(0)\rangle = |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$|\psi_2(0)\rangle = |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$|\psi_3(0)\rangle = |2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\rho(0)\;=\;|\psi(0)\rangle\langle\psi(0)|$

$Agent A: \rho_A(0)=|0\rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$Agent B: \rho_B(0)=|1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$Agent C: \rho_C(0)=|2\rangle\langle 2| = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1\end{pmatrix}$

Lindblad-Operatoren $L_{\rm goal}$ und $L_{\text{deph}}^{(i,j)}$

Der Ziel-Projektionsoperator $L_{\rm goal}$ projeziert (dämpft) die Agenten-Zustände 0,1,2 auf ein gemeinsames Ziel: Das ist ein Projektionsoperator auf einen Zielzustand – z. B. eine kollektiv angestrebte Spiral-Dynamics-Stufe wie orange oder grün.

Wirkung in der Lindblad-Gleichung:

Der Systemzustand wird schrittweise in Richtung dieses Zielzustands gezogen
Gleichzeitig wird die Entropie reduziert, da sich alle Agenten auf denselben Zustand zubewegen

Er wirkt also wie ein dynamischer Attraktor im sozialen Kulturpotential.

$L_{\rm goal} \;=\;\sqrt{\kappa}\;P_{\rm goal},$

$P_{\rm goal} = |\Phi_{\rm goal}\rangle\langle\Phi_{\rm goal}|,$

Die Dephasing-Operatoren $L_{\text{deph}}^{(i,j)}$ wirken nicht auf ein gemeinsames Ziel, sondern zerstreuen gezielt die Phasenbeziehungen zwischen unterschiedlichen Zuständen – also zwischen z. B. Spiral-Dynamics-Stufen.

Jedes dieser Dephasing-Operatoren projiziert einen Anteil eines Zustands j weg vom Zustand hin zum Zustand i.
Dabei bleibt das System aber im Subraum der Spiral-Dynamics-Grundstufen, es wird nur dephasiert
Das heißt, es wird kein globales Ziel angestrebt, sondern es werden viele kleine lokale Projektionspfade erzeugt.

Der Lindblad Ziel- und Dephasing-Operatoren erzeugen damit einen Wettkampf zwischen kollektiver Ausrichtung (Ziel) und lokaler Störung (Dephasing).

$L_{\text{deph}}^{(i,j)} = \sqrt{\gamma} |i\rangle\langle j|,$

$L_{\text{deph}}^{(0,1)} &= \sqrt{\gamma} |0\rangle\langle 1|$

$L_{\text{deph}}^{(0,2)} &= \sqrt{\gamma} |0\rangle\langle 2|$

$L_{\text{deph}}^{(1,0)} &= \sqrt{\gamma} |1\rangle\langle 0|$

$L_{\text{deph}}^{(1,2)} &= \sqrt{\gamma} |1\rangle\langle 2|$

$L_{\text{deph}}^{(2,0)} &= \sqrt{\gamma} |2\rangle\langle 0|$

$L_{\text{deph}}^{(2,1)} &= \sqrt{\gamma} |2\rangle\langle 1|$

$L_{\text{deph}}^{(0,1)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$L_{\text{deph}}^{(0,2)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$L_{\text{deph}}^{(1,0)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$L_{\text{deph}}^{(1,2)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$L_{\text{deph}}^{(2,0)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$L_{\text{deph}}^{(2,1)} = \sqrt{\gamma} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Beispiel für Zielzustand und dazugehörigem Projektionsoperator (kann gewählt werden)

$|\Phi_{\rm goal}\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$P_{\text{goal}} = |\Phi_{\rm goal}\rangle\langle\Phi_{\rm goal}| = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Dabei ist κ die Rate des Ziel-Attraktors und γ die Dephasing-Rate.

5. Topologische und geometrische Kenngrößen

Berry-Phase
Die Berry-Phase $\gamma_{\mathrm{Berry}}$ ist eine geometrische Phase, die nur aus der unitären Schleife entsteht. Der Pfad-Ordered Exponential-Term $\mathcal P\exp(-\tfrac{i}{\hbar}\int_0^TH\,dt)$ fasst alle infinitesimalen Unitärschritte entlang des geschlossenen Pfads zusammen. $\mathcal P$ stellt sicher, dass nicht-kommutierende Hamiltonians in richtiger Reihenfolge multipliziert werden. Das Argument dieses Matrixelements gegen $\psi(0)$ liefert die geometrische Phase. Ein nicht-Null-Ergebnis weist auf topologisch nicht-triviale Schleifen hin.

$\gamma_{\mathrm{Berry}}=\arg\Bigl\langle\psi(0)\Bigm|\mathcal{P}\exp\!\Bigl(-\tfrac{i}{\hbar}\int_{0}^{T}H_{\mathrm{coll}}(t)\,dt\Bigr)\Bigm|\psi(0)\Bigr\rangle.$

Ein alternative Darstellung beruht auf einer Integration über den Parameterraum R:

$\begin{equation*} \gamma_{\text{Berry}} = i \oint_C \langle \psi(\mathbf{R}) | \nabla_{\mathbf{R}} |\psi(\mathbf{R}) \rangle \cdot d\mathbf{R} \end{equation*}$

Vereinfachte numerische Berechnung, auch für nicht geschlossene Pfade geeignet:

$\phi_{\text{Berry}} = \sum_{n=0}^{N-1} \arg\langle\psi(t_n)|\psi(t_{n+1})\rangle$

Pancharatnam-Phase
Die Pancharatnam-Phase $\phi_{\mathrm{P}}$ ist das Argument des Skalarprodukts von Anfangs- und Endzustand. Sie enthält beide unitäre und dissipative Effekte und misst die offene Holonomie. Ein Wert 0 bedeutet phasengleiche Ausrichtung. Ein nicht-Null-Wert zeigt, dass die Endzustände einen phasenmäßigen Versatz zum Anfang haben. Die Funktion $\arg\langle\psi(0)|\psi(T)\rangle$ extrahiert genau diese Phase.

$\begin{equation*} \phi_{\mathrm{P}}=\arg\langle\psi(0)\mid\psi(T)\rangle \end{equation*}$

Raumwinkel

Raumwinkel berechnet die eingeschlossene Fläche mittels des Skalartripels auf der Zustandsmannigfaltigkeit dreier aufeinander folgender Vektoren Psi_i, Psi_i+1 und Psi_i+2. Der Raumwinkel ist damit ein (alternatives) Maß für die Kohärenz der Vektorenpfade. x bezeichnet die Kreuzproduktoperation der Vektoren.

$\begin{equation*} \Omega_i = \arg \left( \langle \psi_i | \psi_{i+1} \times \psi_{i+2} \rangle \right) =\mathrm{Im} \left( \log \left( \langle \psi_i | \psi_{i+1} \times \psi_{i+2} \rangle \right) \end{equation*}$

Die Summe dieser Winkel ergibt den effektiven Raumwinkel des Trajektorienstücks:

$\begin{equation*} \Omega = \sum_i \Omega_i \end{equation*}$

Schlagwort: Topologie

Quantum Spiral Dynamics: ‚Es gibt nur eine Welt!‘ oder von Eichtheorien und Topologien